차례 게임에서 순서는 불리할까? 먼저 뽑는 사람의 확률 계산
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제비뽑기를 할 때마다 "먼저 뽑는 게 유리해, 나중에 뽑는 게 유리해?"라는 질문이 나옵니다. 정답은 상황에 따라 다르다입니다. 간단한 계산으로 확인해 봅시다.
사람 수와 제비 수가 같을 때
제비 4개 중 꽝이 1개이고 네 명이 차례로 뽑는다고 합시다.
- 첫 번째 사람이 꽝을 뽑을 확률은 1/4입니다.
- 두 번째 사람이 꽝을 뽑으려면 앞사람이 통과하고(3/4), 남은 3개 중 꽝을 뽑아야(1/3) 합니다. 곱하면 1/4입니다.
- 세 번째 사람은 3/4 × 2/3 × 1/2 = 1/4입니다.
- 네 번째 사람은 3/4 × 2/3 × 1/2 × 1 = 1/4입니다.
모두 25%입니다. 뒷사람은 꽝을 뽑을 순간의 확률이 높아지지만, 애초에 그 순간까지 꽝이 남아 있을 확률이 그만큼 낮아서 정확히 상쇄됩니다. 앞사람이 무엇을 뽑았는지 보면 심리적으로는 달라 보여도, 시작 전에 계산한 확률은 같습니다.
쉽게 이해하는 방법도 있습니다. 네 명이 제비를 하나씩 쥔 채 동시에 펼친다고 생각해 보세요. 펼치는 순서를 바꾼다고 손에 든 제비가 달라지지는 않습니다.
칸 수가 인원과 맞지 않을 때
칸이 인원보다 많으면 이야기가 달라집니다. 러시안룰렛처럼 6칸 중 1칸에 깃발이 있고 네 명이 돌아가며 당긴다면 다음과 같습니다.
- 1번째 사람: 1, 5번째 칸을 당기므로 2/6
- 2번째 사람: 2, 6번째 칸을 당기므로 2/6
- 3번째 사람: 3번째 칸만 당기므로 1/6
- 4번째 사람: 4번째 칸만 당기므로 1/6
이 경우는 앞사람이 실제로 두 배 불리합니다. 칸 수가 인원의 배수가 아니면 이런 차이가 생깁니다. 2명, 3명, 6명이라면 모두 같은 횟수를 당기므로 차이가 없습니다.
어떻게 공평하게 할까?
차례를 시작 전에 무작위로 섞으면 해결됩니다. 네 명의 경우 누구든 앞 두 자리에 올 확률이 절반이므로, 걸릴 확률은 다음과 같습니다.
1/2 × 2/6 + 1/2 × 1/6 = 1/4
인원에 정확히 맞는 25%가 됩니다. 한 판 안에서 자리에 따른 차이는 남지만, 어느 자리에 앉을지가 무작위이므로 게임을 시작하는 시점에는 누구도 불리하지 않습니다. 이 사이트의 차례 게임은 모두 시작할 때 순서를 섞습니다.
인원이 칸보다 많을 때
인원이 7명이고 칸이 6개면 한 명은 차례가 오지 않습니다. 이번에도 순서를 섞으면 누구나 6/7 확률로 차례를 받고, 그중 1/6 확률로 걸려서 1/7이 됩니다. 인원수대로 정확히 나뉘는 셈입니다.
고르는 위치는 어떨까?
카드 뒤집기나 해적 통 찌르기에서 "구석이 안전해 보인다" 같은 직감이 들 때가 있지만, 함정 위치는 모든 칸에 같은 확률로 정해집니다. 고민하는 재미는 얼마든지 즐겨도 좋지만, 확률을 바꾸지는 않습니다.