사다리타기는 왜 공정할까? 겹치지 않는 원리와 숨은 편향

사다리타기는 가로줄을 아무렇게나 그어도 신기하게 모든 사람이 서로 다른 칸에 도착합니다. 우연처럼 보이지만 수학적으로 항상 성립하는 규칙이에요. 그런데 이것이 곧 확률까지 공정하다는 뜻은 아닙니다.

왜 겹치지 않을까?

가로줄 하나는 양옆 두 세로줄을 지나는 사람을 맞바꿉니다. 왼쪽 줄로 내려오던 사람은 오른쪽으로, 오른쪽 줄로 내려오던 사람은 왼쪽으로 옮겨 가지요. 맞바꾸기는 두 사람을 한 줄에 모을 수 없습니다.

맨 위에서는 모두 다른 줄에 서 있고, 가로줄을 몇 개를 지나든 '한 번에 두 사람 맞바꾸기'만 반복됩니다. 따라서 맨 아래에 도착해도 모두 다른 줄에 있습니다. 수학에서는 이런 대응을 순열이라고 부릅니다.

그럼 어느 줄을 골라도 똑같을까?

여기에 함정이 있습니다. 가로줄이 충분히 많지 않으면 사람들은 대체로 자기가 출발한 곳 근처에 도착합니다. 한 번 옆으로 움직이려면 가로줄을 만나야 하고, 멀리 가려면 그런 일이 같은 방향으로 여러 번 일어나야 하니까요.

세로줄 5개에 가로줄을 몇 개만 그린 사다리를 생각해 봅시다. 맨 왼쪽에서 출발한 사람이 맨 오른쪽에 도착하려면 적어도 가로줄 4개를 차례대로 지나야 합니다. 그럴 가능성은 바로 아래쪽 근처에 도착할 가능성보다 훨씬 낮습니다.

그래서 종이 사다리에서 꽝을 먼저 적어 두면, 가로줄을 눈으로 따라가지 않아도 꽝 바로 위쪽을 피하는 것만으로 약간 유리해질 수 있습니다.

공정하게 만드는 두 가지 방법

첫째, 꽝의 위치를 가린 채 무작위로 정합니다. 경로의 모양이 어떻든 꽝이 모든 칸에 같은 확률로 놓이면, 각 시작점이 꽝에 도착할 확률은 정확히 같아집니다. 이 사이트의 사다리타기가 쓰는 방법입니다. 시작점마다 도착하는 칸은 하나로 정해져 있고, 그 칸이 꽝일 확률은 어느 칸이든 같기 때문입니다.

꽝이 2개인 경우에도 마찬가지입니다. 참가자가 n명이고 꽝이 k개이면 누구나 k/n의 확률로 걸립니다.

둘째, 가로줄을 아주 많이 긋습니다. 가로줄이 늘어날수록 도착 위치는 고르게 섞입니다. 다만 그만큼 사다리가 복잡해져서 보기 어려워집니다. 실제 종이 사다리에서는 위쪽 이름을 고른 뒤에 다른 사람이 가로줄을 몇 개 더 그려 넣는 방법이 잘 통합니다.

정리

• 사다리는 구조상 모든 사람을 서로 다른 칸으로 보냅니다.
• 그러나 사다리 모양만으로는 도착 위치가 고르게 섞이지 않습니다.
• 꽝을 가리고 무작위로 놓으면 사다리 모양과 관계없이 확률이 같아집니다.

다음에 종이로 사다리를 그릴 일이 있다면, 꽝은 꼭 접어서 가리고 가로줄을 더 그려 달라고 해 보세요.